Jetzt wollen wir aber endlich wissen, wie das mit den jährlichen Renditen geht. Erinnern wir uns dazu an unser Beispiel, in dem wir 5% für 2 Jahre bekommen hatten. Nach 2 Jahren hatten wir 1.000 EUR + 50 EUR + 52,50 EUR = 1.102,50 EUR. Das kann man aber auch anders aufschreiben. Wir formen unsere Rechnung ein wenig um. Nach einem Jahr haben wir unser Startguthaben plus Zinsen für ein Jahr. Wenn wir unser Startguthaben G0 ( G null ) nennen, unser Guthaben am Ende eines Jahres G1 und den jährlichen Zinssatz p wie Prozent, kann man das so aufschreiben: G1 = G0 + Zinsen, oder G1 = G0 + G0*(p / 100%) was dasselbe ist wie G1 = G0 * (1 + p / 100%) . Mit den Zahlen aus unserem Beispiel wäre das 1.050 EUR = 1.000 EUR + 1.000 EUR * (5 / 100) oder 1.050 EUR = 1.000 EUR * (1 + 5 / 100) Nach dem zweiten Jahr sieht es verdächtig ähnlich aus, wenn wir das
Guthaben nach 2 Jahren G2 nennen: G2 = G1 + Zinsen oder G2 = G1 + G1 * (p / 100%) was wiederum dasselbe ist wie G2 = G1 * (1 + p / 100%) Jetzt können wir G1 durch die sehr ähnliche Formel oben ersetzen und
erhalten: G2 = G0 * (1 + p / 100%) * (1 + p / 100%) oder G2 = G0 * (1 + p / 100%) hoch 2 Nach 3 Jahren würden wir auf dieselbe Art die Formel G3 = G0 * (1 + p / 100%) hoch 3 ableiten. Die Formeln für verschiedene Jahreszahlen unterscheiden sich
also nur durch den Exponenten (die "Hochzahl") am Ende. Netterweise
ist dieser Exponent immer gleich der Jahreszahl. Das macht
die Sache am Ende wieder einfach. Nach n Jahren haben wir also ein
Guthaben von Gn = G0 * (1 + p / 100%) hoch n Diese Formel vereinfacht sich, wenn wir dem Ausdruck (1 + p / 100%)
einen neuen Namen geben. Wir wollen ihn den jährlichen Wachstumsfaktor
(Wa) nennen. Die Umrechnung ist leicht: Aus einem Zinssatz von z.B. 4%
wird ein Wachstumsfaktor von 1,04 . Aus 12% würden 1,12 als
Wachstumsfaktor. Und aus 100%? Richtig: Wa = 2. Wachstumsfaktoren vereinfachen so ziemlich jede Zins- und
Renditeberechnung enorm. Deshalb werden wir sie im Verlauf der Serie
häufig einsetzen. Gn = G0 * Wa hoch n Bei n Jahren Laufzeit bilden wir also die n-te Potenz des
jährlichen Wachstumsfaktors und multiplizieren das mit dem Startguthaben.
Das Ergebnis ist unser Endguthaben. Der Ausdruck "Wa hoch n" schließlich
bezeichnet das Gesamtwachstum des Startguthabens. Dieser Wert (W)
sagt uns, wievielmal wir das Startguthaben am Ende besitzen. Endguthaben = 10.000 EUR * (1,035 hoch 3) Der Computer klärt uns auf, dass 1,035 hoch 3 = 1,108718 ist und
dann sagt er uns, dass 10.000 * 1,108718 = 11087,18 ist. Oma Krause wird
also in 3 Jahren 11.087,18 EUR von ihrer Bank zurückbekommen. Jedenfalls,
wenn sie keine Steuern und Gebühren zahlen muss. Wa = (G3 / G0) hoch (1/n) oder eben Wa = (1.277 EUR / 1.000 EUR) hoch 1/3 = 1,0849 Ein scharfer Blick auf diesen Wachstumsfaktor sagt uns: Der jährliche
Zinssatz betrug 8,49% . Wa = (1.000 EUR / 939 EUR) hoch 1/2 = 1,032 Die jährliche Rendite beträgt also 3,2%. Der zweijährige
Finanzierungsschatz hat eine bessere Rendite als der einjährige in unserem
Beispiel. Man kann sich das so vorstellen, als hätte man nach einem Jahr
Zinsen in Höhe von 30,02 EUR bekommen, und im zweiten Jahr Zinsen in Höhe
von 30,98 EUR. |